حدود برنولي – Science Solidaire

1. المقدمة

متعدّدات حدود بيرنولي، التي قدمها عالم الرياضيات السويسري جاكوب بيرنولي في القرن السابع عشر، تشكل عائلة أساسية من متعدّدات الحدود في الرياضيات. تظهر في مجالات مختلفة مثل نظرية الأعداد، التحليل الرياضي، والحساب الرمزي. تُعرّف هذه المتعدّدات من خلال دالة مولّدة، وترتبط ارتباطاً وثيقاً بأعداد بيرنولي، التي تظهر كمعاملات في متسلسلات تايلور لبعض الدوال المثلثية. كما تبرز أهميتها في صيغ جمع القوى وفي علاقتها مع دالة زيتا لريمان. يهدف هذا المقال إلى استكشاف الخصائص الأساسية لمتعدّدات حدود بيرنولي، وعلاقاتها مع الكائنات الرياضية الأخرى، وتطبيقاتها الحديثة.

2. التعريف والخصائص

تُعرّف متعدّدات حدود بيرنولي $B_n(x)$ بالدالة المولّدة التالية:

$\frac{t e^{xt}}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n(x) \frac{t^n}{n!}, \quad \text{من أجل } |t| < 2\pi.$

أول متعدّدات حدود بيرنولي هي:

$B_0(x) = 1, \quad B_1(x) = x - \frac{1}{2}, \quad B_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6}.$

تحقّق هذه المتعدّدات علاقة تكرار أساسية:

$B_n'(x) = n B_{n-1}(x).$

وهي مرتبطة أيضاً بأعداد بيرنولي $B_n$ ، المعرّفة بـ $B_n(0) = B_n$ .

3. التطبيقات في الرياضيات

تلعب متعدّدات حدود بيرنولي دوراً حاسماً في مختلف مجالات الرياضيات. فيما يلي بعض تطبيقاتها البارزة:

صيغة الجمع لأويلر-ماكلورين: تربط هذه الصيغة المجاميع المنفصلة بالتكاملات وتشمل متعدّدات حدود بيرنولي في حدود التصحيح. وهي مفيدة بشكل خاص لتقريب المتسلسلات وحساب المجاميع.
حساب مجاميع القوى: تسمح متعدّدات حدود بيرنولي بالتعبير عن مجموع القوى الأسية p للأعداد الطبيعية n الأولى. على سبيل المثال، يمكن حساب مجموع المربعات باستخدام القيم المناسبة لمتعدّدات حدود بيرنولي.
نظرية الأعداد: تظهر في دراسة دالة زيتا لريمان وتُستخدم لتحليل توزيع الأعداد الأولية. ترتبط القيم الخاصة لدالة زيتا عند الأعداد الصحيحة السالبة بأعداد بيرنولي.

4. أمثلة وتوضيحات

لتوضيح استخدام متعدّدات حدود بيرنولي، لنحسب مجموع القوى الرابعة للأعداد الطبيعية $n$ الأولى:

$S = \sum_{k=1}^n k^4$

باستخدام متعدّدات حدود بيرنولي، يمكن التعبير عن هذا المجموع كالتالي:

$S = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$

تسمح هذه الصيغة بحساب فعال لمجموع القوى دون الحاجة لجمع كل حد على حدة.

1. المقدمة

2. التعريف والخصائص

3. التطبيقات في الرياضيات

4. أمثلة وتوضيحات

اترك تعليقاً إلغاء الرد