Les Polynômes de Bernoulli

1. Introduction

Les polynômes de Bernoulli, introduits par le mathématicien suisse Jakob Bernoulli au XVII^e siècle, constituent une famille de polynômes qui jouent un rôle fondamental en mathématiques. Ils apparaissent dans divers domaines tels que la théorie des nombres, l’analyse mathématique et le calcul symbolique.

Définis par une fonction génératrice, ces polynômes sont étroitement liés aux nombres de Bernoulli, qui sont des coefficients apparaissant dans le développement en série de Taylor de certaines fonctions trigonométriques. Leur importance est également manifeste dans les formules de somme des puissances et dans leur relation avec la fonction zêta de Riemann.

L’objectif de cet article est d’explorer les propriétés fondamentales des polynômes de Bernoulli, leurs relations avec d’autres objets mathématiques et leurs applications modernes.

2. Définition et Propriétés

Les polynômes de Bernoulli $B_n(x)$ sont définis par la fonction génératrice suivante :

$\frac{t e^{xt}}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n(x) \frac{t^n}{n!}, \quad \text{pour } |t| < 2\pi.$

Les premiers polynômes de Bernoulli sont :

$B_0(x) = 1, \quad B_1(x) = x - \frac{1}{2}, \quad B_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6}.$

Ces polynômes satisfont une relation de récurrence fondamentale :

$B_n'(x) = n B_{n-1}(x).$

Ils sont également reliés aux nombres de Bernoulli $B_n$ , définis par $B_n(0) = B_n$ .

3. Applications en Mathématiques

Les polynômes de Bernoulli jouent un rôle crucial dans divers domaines des mathématiques. Voici quelques-unes de leurs applications notables :

Formule de sommation d’Euler-Maclaurin : Cette formule relie les sommes discrètes aux intégrales et fait intervenir les polynômes de Bernoulli dans les termes de correction. Elle est particulièrement utile pour l’approximation de séries et le calcul de sommes.
Calcul des sommes de puissances : Les polynômes de Bernoulli permettent d’exprimer la somme des puissances $p$ -ièmes des $n$ premiers entiers naturels. Par exemple, la somme des carrés peut être calculée en utilisant les valeurs appropriées des polynômes de Bernoulli.
Théorie des nombres : Ils apparaissent dans l’étude de la fonction zêta de Riemann et sont utilisés pour analyser la distribution des nombres premiers. Les valeurs spéciales de la fonction zêta aux entiers négatifs sont liées aux nombres de Bernoulli.

4. Exemples et Illustrations

Pour illustrer l’utilisation des polynômes de Bernoulli, considérons le calcul de la somme des puissances quatrièmes des $n$ premiers entiers naturels :

$S = \sum_{k=1}^n k^4$