Transformations intégrales et analyse spectrale : Une perspective moderne

Pr. Élodie Cartan

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Introduction

Les transformations intégrales, dont le prototype historique est la transformée de Fourier, constituent depuis deux siècles un outil central en analyse mathématique. Leur développement, initié par Fourier (1822) et pleinement axiomatisé par Schwartz (1950) dans le cadre des distributions, trouve aujourd’hui des échos profonds en théorie des opérateurs et en géométrie non commutative.

$\newcommand{\hilbert}{\mathcal{H}}$

Cet article synthétise les avancées récentes en mettant l’accent sur leur rôle unificateur entre analyse fonctionnelle et physique mathématique.

Définitions fondamentales

Soit $\hilbert$ un espace de Hilbert séparable. Une transformation intégrale canonique est un opérateur unitaire $T \in \mathcal{U}(\hilbert)$ s’écrivant :

$(Tf)(\xi) = \int_X K(x, \xi) f(x) d\mu(x)$

où le noyau intégral $K \in C^\infty(X \times \Xi)$ satisfait les conditions :

Unitariété : $T^*T = TT^* = I_{\hilbert}$
Propriété de covariance : $\exists$ représentation $\pi$ de $G$ (groupe de symétrie) tel que $K(g \cdot x, \xi) = \pi(g)K(x, \pi^{-1}(g)\xi)$

Propriétés spectrales

Théorème (Décomposition spectrale généralisée)
Pour tout opérateur autoadjoint $A$ sur $\hilbert$, il existe une mesure spectrale $E$ et une transformée intégrale $T$ telle que :

$A = T^{-1} \left( \int_{\sigma(A)} \lambda dE(\lambda) \right) T$

Ce résultat étend le théorème spectral classique aux espaces de dimension infinie.

Application aux systèmes dynamiques

Considérons le flot hamiltonien $\{\phi_t\}$ associé à $H \in C^\infty(T^*M)$. La quantification géométrique fournit une transformation intégrale :

$\mathcal{Q}: L^2(M) \to L^2(\mathfrak{g}^*)$

rendant diagrammatique :

$\begin{CD} C^\infty(T^*M) @>\{\cdot,H\}>> C^\infty(T^*M) \\ @V\mathcal{Q}VV @VV\mathcal{Q}V \\ \mathcal{B}(L^2(M)) @>>[\cdot, \mathcal{Q}(H)]> \mathcal{B}(L^2(M)) \end{CD}$

Applications contemporaines

Théorie des cordes et dualités

En théorie des champs conformes, les transformations de T-dualité s’interprètent comme des transformations intégrales non locales sur l’espace des modules des fibrés principaux :

$Z_{string}(\tau) = \int_{\mathcal{M}_G} \mathcal{D}A\ \exp\left(-\frac{1}{4\pi\alpha'} \int_\Sigma \mathrm{Tr}(A \wedge \star A)\right)$

Tomographie quantique

Les états cohérents $\{|z\rangle\}$ de l’oscillateur harmonique permettent de définir une transformation de type Radon généralisée :

$\hat{\rho}(z) = \langle z | \rho | z \rangle = \int_{\mathbb{C}^n} K(z, \alpha) W_\rho(\alpha) d^2\alpha$

où $W_\rho$ est la fonction de Wigner du état $\rho$.

Conclusion

Cette synthèse met en lumière l’universalité des transformations intégrales, des fondements de la mécanique quantique aux dernières avancées en géométrie non commutative.